Comment simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits sans changer sa valeur. Un diviseur le fait en une seule étape.
Additionnez, soustrayez, multipliez ou divisez deux fractions, simplifiées automatiquement.
Simplifier une fraction, aussi appelé la réduire, c'est la réécrire avec des nombres plus petits tout en gardant sa valeur exactement identique. 2/4 et 1/2 sont la même quantité ; 1/2 est juste la version soignée. La forme la plus simple est plus facile à lire, à comparer et à utiliser, et c'est en général ce qu'un enseignant attend comme réponse finale. Tout le travail tient en une idée : divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Ce que veut dire "forme la plus simple"
Une fraction a un nombre du haut (le numérateur) et un du bas (le dénominateur). Elle est sous sa forme la plus simple quand le seul nombre entier qui divise les deux est 1, si bien qu'il ne reste rien à simplifier. 1/2 est la plus simple car seul 1 divise à la fois 1 et 2. 2/4 ne l'est pas, car 2 divise les deux. Simplifier, c'est le passage du second type au premier.
La raison pour laquelle cela ne change pas la valeur, c'est que vous divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Diviser les deux parties d'une fraction par la même quantité revient à réduire une recette à l'échelle : les proportions, et donc la valeur, restent identiques.
La méthode du PGCD (une étape)
Le moyen le plus rapide de simplifier est de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, le plus grand nombre entier qui entre dans les deux. Cela atteint la forme la plus simple en une seule étape :
1. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur.
2. Divisez les deux par lui.
Prenez 12/18. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Le plus grand qu'ils partagent est 6, donc divisez les deux par 6 : 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3, ce qui donne 2/3. Vérifiez : seul 1 divise à la fois 2 et 3, donc 2/3 est la plus simple. Fait en un seul geste.
L'astuce : continuez à diviser
Si repérer le PGCD est difficile, vous n'en avez pas besoin. Divisez simplement le numérateur et le dénominateur par n'importe quel diviseur commun que vous voyez, et répétez jusqu'à ce que rien ne divise plus les deux. Prenez 24/36 : les deux sont pairs, donc divisez-les par deux : 12/18 ; encore pairs, de nouveau par deux : 6/9 ; maintenant 3 divise les deux, donc divisez par 3 pour obtenir 2/3. Vous arrivez à la même réponse, juste en plus d'étapes. Commencer par de petits diviseurs évidents comme 2, 3 et 5 rend cela facile à faire de tête.
Nombres mixtes et fractions impropres
Deux cas rapides reviennent souvent. Une fraction impropre, où le haut est plus grand que le bas, comme 18/12, se simplifie de la même façon (divisez par le PGCD, 6, pour obtenir 3/2) et peut ensuite s'écrire comme le nombre mixte un et demi (1 1/2) si vous préférez. Un nombre mixte comme 2 4/8 se simplifie en réduisant seulement sa partie fractionnaire : 4/8 devient 1/2, donc la réponse est 2 1/2. La partie entière reste inchangée.
Trouver le PGCD de grands nombres
Avec de petits nombres, vous repérez le plus grand commun diviseur à l'œil, mais pour les grands, les facteurs premiers le rendent fiable. Décomposez chaque nombre en les nombres premiers qui le composent, puis multipliez les premiers qu'ils partagent. Prenez 36/48. 36 vaut 2 × 2 × 3 × 3, et 48 vaut 2 × 2 × 2 × 2 × 3. Ils partagent deux 2 et un 3, donc le PGCD est 2 × 2 × 3 = 12. Divisez les deux par 12 : 36 ÷ 12 = 3 et 48 ÷ 12 = 4, ce qui donne 3/4. Cette méthode ne rate jamais un facteur, ce que l'approche à l'œil fait parfois.
Une vérification, et l'erreur la plus courante
Terminez toujours en vérifiant que le numérateur et le dénominateur ne partagent aucun diviseur à part 1. S'ils en partagent encore un, vous n'avez pas divisé par le PGCD complet et vous pouvez simplifier à nouveau : diviser 24/36 par 2 donne 12/18, plus petit mais pas encore le plus simple, car 6 divise encore les deux. S'arrêter trop tôt est l'erreur la plus courante. La méthode de division répétée est sûre justement pour cela : vous continuez jusqu'à ce que rien ne divise les deux nombres. Cela marche aussi à l'envers : multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre donne une fraction équivalente avec de plus grands nombres, ce qui est la façon de mettre deux fractions au même dénominateur avant de les additionner.
Quand une fraction est déjà la plus simple
Toute fraction ne peut pas être réduite. Si le numérateur et le dénominateur ne partagent aucun diviseur à part 1, on les dit premiers entre eux, et la fraction est déjà sous sa forme la plus simple : 7/9 ne peut pas être réduite, car les diviseurs de 7 sont seulement 1 et 7, et 7 ne divise pas 9. Un moyen rapide de voir par où commencer, ce sont les critères de divisibilité : si les deux sont pairs, vous pouvez diviser par 2 ; s'ils finissent tous deux par 0 ou 5, par 5 ; et si les chiffres de chacun s'additionnent en un multiple de 3, par 3. Un cas particulier : quand le bas divise exactement le haut, la fraction devient un nombre entier ou un simple, donc 6/6 vaut 1 et 5/10 vaut 1/2.
Quand il faut la forme la plus simple
La forme la plus simple compte surtout à trois endroits : comme réponse finale qu'un enseignant corrige, pour comparer des fractions (il est bien plus facile de voir que 2/3 est plus grand que 3/5 une fois les deux soignées) et pour additionner ou soustraire des fractions, où simplifier garde les nombres petits. Il est rarement faux de laisser une fraction non simplifiée, mais c'est presque toujours plus clair de la réduire, et c'est pourquoi « écrivez votre réponse sous sa forme la plus simple » est une consigne si courante.
Le lien avec les rapports et les pourcentages
Simplifier une fraction, c'est le même geste que simplifier un rapport : 12/18 et le rapport 12:18 se réduisent tous deux par leur PGCD de 6 à 2/3 et 2:3. (Un rapport compare une partie à une autre, tandis qu'une fraction est une partie d'un tout, mais l'étape de réduction est identique.) Si vous travaillez avec des rapports, notre guide sur comment calculer un rapport utilise exactement cette étape. Et comme une fraction n'est qu'une partie d'un tout, vous pouvez transformer toute fraction simplifiée en pourcentage en divisant le haut par le bas et en multipliant par 100, ce que couvre notre explication de comment calculer un pourcentage et que la calculatrice de pourcentage fait à l'instant.
En résumé
Pour simplifier une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ou continuez simplement à diviser par n'importe quel diviseur commun jusqu'à ce qu'il ne reste que 1. La valeur ne change jamais, car vous faites la même chose aux deux parties. Réduisez la partie fractionnaire d'un nombre mixte et laissez la partie entière inchangée. Pour vérifier votre réponse ou simplifier une fraction compliquée à l'instant, entrez-la dans notre calculatrice de fractions, qui la réduit à sa forme la plus simple et montre les étapes, et la calculatrice de rapports fait de même pour les rapports. Réduire prend quelques secondes une fois le plus grand commun diviseur connu, et cela facilite chaque étape suivante avec cette fraction.
Questions fréquentes
Comment simplifier une fraction ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, le plus grand nombre entier qui entre dans les deux. Pour 12/18, le plus grand commun diviseur est 6, donc 12 divisé par 6 fait 2 et 18 divisé par 6 fait 3, ce qui donne 2/3. Si vous ne repérez pas le PGCD, continuez à diviser les deux par n'importe quel diviseur commun jusqu'à ce qu'il ne reste que 1.
Que veut dire forme la plus simple ?
Une fraction est sous sa forme la plus simple quand le seul nombre entier qui divise à la fois le haut et le bas est 1, si bien qu'il ne reste rien à simplifier. 1/2 est sous forme la plus simple ; 2/4 ne l'est pas, car 2 divise les deux. Simplifier amène une fraction à cette forme soignée sans changer sa valeur.
Pourquoi simplifier ne change-t-il pas la valeur d'une fraction ?
Parce que vous divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Réduire à l'échelle les deux parties d'une fraction par la même quantité garde la proportion, et donc la valeur, exactement identique. 2/4 et 1/2 sont égales ; l'une est juste écrite avec des nombres plus petits.
Comment simplifier un nombre mixte ?
Simplifiez seulement la partie fractionnaire et laissez le nombre entier inchangé. Pour 2 4/8, réduisez 4/8 à 1/2, donc la réponse est 2 1/2. Une fraction impropre comme 18/12 se simplifie par son plus grand commun diviseur à 3/2, que vous pouvez ensuite écrire comme le nombre mixte 1 1/2.
Simplifier une fraction, est-ce la même chose que simplifier un rapport ?
Oui, c'est la même étape. Les deux divisent les deux nombres par leur plus grand commun diviseur. La fraction 12/18 et le rapport 12:18 se réduisent tous deux par 6 pour donner 2/3 et 2:3. Donc si vous savez simplifier l'un, vous savez simplifier l'autre.