Comment trouver la pente d'une droite
La même question arrive de trois façons. Apprenez à lire la montée sur l'avancée et vous trouverez une pente avec des points, un graphique ou une équation.
Trouvez la pente et l'équation de la droite passant par deux points.
La pente semble une idée unique, et elle l'est : elle mesure à quel point une droite est raide et dans quel sens elle penche. Ce qui la rend confuse, c'est que la même question arrive sous trois déguisements. On peut vous donner deux points, ou un graphique tracé, ou une équation, et vous demander la pente de la droite. Apprenez à lire un seul rapport, la montée sur l'avancée, et les trois deviennent le même calcul rapide.
Ce que la pente mesure vraiment
La pente est un taux de variation : de combien la droite monte ou descend à chaque pas vers la droite. On l'écrit avec la lettre m, et c'est toujours la variation verticale divisée par la variation horizontale, souvent dite "montée sur avancée" et écrite m = Δy ÷ Δx. Une pente de 2 veut dire que la droite monte de 2 pour chaque 1 d'avancée. Une pente de −0,5 veut dire qu'elle descend d'une demi-unité pour chaque 1 d'avancée. Plus le nombre est grand sans tenir compte de son signe, plus la droite est raide, donc une pente de −5 est plus raide qu'une de 2 ; le signe seul indique juste la direction, vers le haut ou vers le bas.
Ce n'est pas qu'une idée scolaire. Un maximum courant de 1 pour 12 pour les rampes d'accès en fauteuil roulant est une pente d'environ 0,083 (1 ÷ 12), soit 8,3 % ; une route signalée à 6 % de déclivité a une pente de 0,06 ; et l'inclinaison d'un toit est aussi une pente. Chaque fois qu'une chose varie de façon constante par rapport à une autre, la pente est le nombre qui décrit à quel rythme, qu'il s'agisse de mètres de montée par kilomètre de route ou de revenu par heure travaillée.
Comment trouver la pente à partir de deux points
C'est la version qu'on enseigne à presque tout le monde. Étant donné deux points, notez-les (x₁, y₁) et (x₂, y₂), puis :
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
Prenez les points (2, 3) et (6, 11). La montée est 11 − 3 = 8, l'avancée est 6 − 2 = 4, donc la pente est 8 ÷ 4 = 2. La droite monte de 2 pour chaque 1 d'avancée. Une droite descendante fonctionne pareil et donne un résultat négatif : pour (1, 9) et (4, 3), la montée est 3 − 9 = −6 et l'avancée est 4 − 1 = 3, donc la pente est −6 ÷ 3 = −2, une droite qui descend de 2 pour chaque 1 d'avancée.
L'ordre des points a-t-il de l'importance ?
Non, tant que vous êtes cohérent. Si vous commencez le haut de la fraction par y₂, vous devez commencer le bas par x₂ aussi. Échangez les deux et vous obtenez le même résultat : (3 − 11) ÷ (2 − 6) = −8 ÷ −4 = 2 à nouveau. L'erreur à éviter est de mélanger l'ordre, soustraire les y d'un côté et les x de l'autre, ce qui inverse le signe et donne la mauvaise droite.
Comment trouver la pente à partir d'un graphique
Quand la droite est déjà tracée, vous n'avez pas besoin de la formule du tout, juste de deux points lisibles nettement là où la droite croise le quadrillage. Lisez le graphique de gauche à droite pour que l'avancée soit toujours positive, puis comptez : de combien de carreaux la droite monte ou descend entre les deux points (la montée, négative si la droite descend) et de combien de carreaux elle avance (l'avancée). Divisez la montée par l'avancée.
Par exemple, prenez une droite passant par (0, 1) et (3, −2). De gauche à droite, elle descend de 3 et avance de 3, donc la pente est −3 ÷ 3 = −1. Un conseil qui évite les erreurs : choisissez deux points éloignés et posés pile sur des coins du quadrillage. Lire une pente entre deux points très espacés rend une petite erreur de lecture bien moins grave que de plisser les yeux sur deux points collés.
Comment trouver la pente à partir d'une équation
Si la droite est écrite comme une équation, la pente est souvent bien en vue. La forme pente-ordonnée à l'origine est y = mx + b, où m est la pente et b l'endroit où la droite croise l'axe des y. Donc dans y = 3x + 5, la pente est simplement 3. Dans y = −2x + 1, elle est −2.
Si l'équation a une autre forme, réarrangez-la jusqu'à ce que y soit seul. Pour 2y = 6x − 4, divisez tout par 2 pour obtenir y = 3x − 2, donc la pente est 3. La forme générale, comme 4x + 2y = 8, demande une étape de plus : soustrayez pour obtenir 2y = −4x + 8, puis divisez par 2 pour y = −2x + 4, et la pente, −2, apparaît. La seule équation où cela ne marche pas est une droite verticale comme x = 5, qui ne peut pas s'écrire sous la forme y = mx + b du tout, parce que sa pente est indéfinie (voir plus bas).
Les deux cas qui piègent
Deux droites cassent le schéma simple, et il vaut la peine de les connaître car elles apparaissent aussi bien aux examens que dans les données réelles.
Une droite horizontale ne monte jamais, donc sa montée est 0, et 0 divisé par toute avancée non nulle vaut 0. Sa pente est exactement zéro, ce qui est correct : une droite plate n'a aucune raideur.
Une droite verticale est l'inverse, et celle qui surprend. Son avancée est 0, et diviser par zéro est indéfini, donc une droite verticale n'a aucune pente, pas une pente de zéro. Prenez les points (4, 1) et (4, 7) : l'avancée est 4 − 4 = 0, donc la fraction a zéro au dénominateur et la pente est indéfinie. Si vos deux points partagent la même valeur de x, arrêtez-vous : la droite est verticale.
Parallèles et perpendiculaires, en une ligne
Deux règles rapides découlent directement de la pente. Les droites parallèles ont la même pente. Les droites qui se croisent à angle droit, perpendiculaires, ont des pentes dont le produit vaut −1, ce qui fait de chacune l'inverse opposé de l'autre : une droite de pente 2 est perpendiculaire à une de pente −0,5. Cette règle vaut pour toute paire de droites ni horizontales ni verticales ; une droite horizontale et une verticale sont perpendiculaires aussi, mais là la règle du produit ne peut pas s'appliquer car une pente est indéfinie. Ce seul fait répond à beaucoup de questions de géométrie sans rien dessiner.
En résumé
Quelle que soit la forme de la question, la pente est un seul rapport : la montée sur l'avancée. Avec deux points, soustrayez et divisez ; avec un graphique, comptez les carreaux de gauche à droite ; avec une équation, lisez le nombre devant x. Gardez l'ordre de la soustraction cohérent, rappelez-vous qu'une droite plate vaut zéro et qu'une droite verticale est indéfinie, et le reste n'est que de l'arithmétique. Pour vérifier vos calculs en un instant, entrez les deux points dans notre calculatrice de pente, qui affiche la montée, l'avancée et la pente obtenue. Si vous révisez la géométrie analytique plus largement, notre explication du théorème de Pythagore couvre la distance entre ces deux mêmes points, et la calculatrice du théorème de Pythagore la calcule pour vous.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la pente d'une droite ?
La pente est la variation verticale divisée par la variation horizontale, écrite m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1). Pour les points (2, 3) et (6, 11), la montée est 8 et l'avancée est 4, donc la pente est 2. On dit souvent 'montée sur avancée'.
Comment trouver la pente à partir d'un graphique ?
Choisissez deux points où la droite croise nettement le quadrillage, comptez les carreaux de montée ou de descente entre eux (la montée) et les carreaux d'avancée (l'avancée), puis divisez la montée par l'avancée. Choisissez des points bien espacés et sur des coins exacts pour qu'une petite erreur de lecture compte moins.
Comment trouver la pente à partir d'une équation ?
Mettez l'équation sous la forme y = mx + b, et la pente est le nombre m devant x. Dans y = 3x + 5, la pente est 3. Si l'équation a une autre forme, réarrangez-la d'abord pour isoler y, puis lisez le coefficient de x.
Quelle est la pente d'une droite horizontale ou verticale ?
Une droite horizontale a une pente de zéro, parce qu'elle ne monte jamais. Une droite verticale a une pente indéfinie, pas zéro, parce que son avancée est nulle et qu'on ne peut pas diviser par zéro. Si deux points partagent la même valeur de x, la droite est verticale et la pente est indéfinie.
L'ordre des points a-t-il de l'importance ?
Non, tant que vous êtes cohérent. Le point dont vous mettez le y en premier en haut, mettez son x en premier en bas. Mélanger l'ordre, soustraire les y d'un côté et les x de l'autre, inverse le signe et donne la mauvaise pente.