Le théorème de Pythagore expliqué
Trois lettres, l'une des règles les plus utiles de toutes les maths. Voici ce que signifie a² + b² = c², comment l'utiliser dans les deux sens et où il apparaît dans la vie réelle.
Trouvez l'hypoténuse d'un triangle rectangle à partir des deux côtés les plus courts.
Le théorème de Pythagore est l'une de ces règles que l'on découvre une fois à l'école puis que l'on recroise toute sa vie, souvent sans s'en rendre compte. Il relie les trois côtés d'un triangle rectangle et, une fois compris, il vous permet de trouver une distance que vous ne pouvez pas mesurer directement, de vérifier qu'un angle est vraiment droit ou de calculer la diagonale d'un écran. Tout cela sort d'une seule équation.
En bref : le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, a au carré plus b au carré égale c au carré (a² + b² = c²), où c est le plus long côté. Élevez au carré les deux côtés courts, additionnez, et le résultat égale le carré du plus long côté. Il permet de trouver n'importe quel côté quand on connaît les deux autres.
Ce que dit vraiment a² + b² = c²
Dans tout triangle rectangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Le plus grand côté, appelé hypoténuse, est toujours face à l'angle droit. On nomme les deux côtés courts a et b, et l'hypoténuse c, ce qui donne la fameuse ligne :
a² + b² = c²
Le mot clé est rectangle. Le théorème ne fonctionne que lorsqu'un angle mesure exactement 90 degrés. Si le triangle n'a pas d'angle droit, cette équation ne s'applique pas et il faut un autre outil (la loi des cosinus).
Comment trouver l'hypoténuse
Quand vous connaissez les deux côtés courts et cherchez le long, suivez trois étapes :
- Élevez au carré chaque côté court.
- Additionnez les deux résultats.
- Prenez la racine carrée de ce total.
Sous forme de formule : c = √(a² + b²).
Exemple : un triangle avec des côtés de 6 et 8. c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. L'hypoténuse vaut exactement 10.
La plupart des triangles réels ne donnent pas un nombre entier aussi net, et c'est normal. Des côtés de 4 et 7 donnent c = √(4² + 7²) = √(16 + 49) = √65 ≈ 8,06. Vous arrondissez simplement à la précision voulue.
Comment calculer un côté manquant (un côté de l'angle droit)
Cela marche aussi à l'envers. Si vous connaissez l'hypoténuse et un côté, soustrayez au lieu d'additionner pour trouver l'autre :
b = √(c² − a²)
Exemple : l'hypoténuse est 13 et un côté est 5. b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Le côté manquant vaut 12.
Pourquoi ça marche (et d'où ça vient)
Le nom vient du mathématicien grec Pythagore, vers 500 av. J.-C., même si des tablettes babyloniennes montrent que la relation était connue plus de mille ans plus tôt. La façon la plus claire de voir pourquoi c'est vrai : dessinez un carré sur chacun des trois côtés du triangle. L'aire du carré sur le plus long côté est exactement égale aux deux carrés plus petits réunis.
Vous pouvez le vérifier avec le triangle 3-4-5 : le carré du côté 3 a une aire de 9, celui du côté 4 une aire de 16 et celui de l'hypoténuse (5) une aire de 25. En effet, 9 + 16 = 25. C'est tout ce que dit a² + b² = c², en aires plutôt qu'en longueurs.
La réciproque : le triangle est-il rectangle ?
Le théorème fonctionne aussi dans l'autre sens, ce qui est très utile. Si les trois côtés d'un triangle vérifient a² + b² = c², alors le triangle a un angle droit, face au plus long côté. Donc pour tester un angle ou un triangle, élevez au carré les deux côtés courts, additionnez, et voyez si cela égale le carré du plus long. Avec 5, 12 et 13 : 25 + 144 = 169 = 13², donc c'est un angle droit. Sinon, non.
Triplets pythagoriciens courants
Voici une liste rapide de triplets pythagoriciens. Un triplet est un ensemble de trois nombres entiers qui vérifient parfaitement le théorème, sans décimales encombrantes. Ils valent la peine d'être reconnus car ils reviennent sans cesse aux examens et sur le terrain. Les quatre premiers ci-dessous sont des triplets primitifs (ils ne viennent pas d'un plus petit mis à l'échelle) ; les deux derniers sont des versions mises à l'échelle de 3-4-5. Tout multiple d'un triplet est aussi un triplet.
| a | b | c (hypoténuse) | Vérification | Type |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 | primitif |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 | primitif |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 | primitif |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 | primitif |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 | 3-4-5 × 2 |
| 9 | 12 | 15 | 81 + 144 = 225 | 3-4-5 × 3 |
Où on l'utilise vraiment
Ce n'est pas qu'un exercice de classe. Le théorème apparaît dès qu'il y a un angle droit et une distance :
- Faire des angles droits. Les maçons utilisent la règle 3-4-5 pour s'assurer qu'un angle fait exactement 90 degrés : mesurez 3 unités le long d'un mur, 4 le long de l'autre, et si la diagonale entre ces repères vaut exactement 5, l'angle est droit. Pour une pièce plus grande, on met à l'échelle : 6-8-10 ou 9-12-15 marchent pareil et sont plus faciles à mesurer précisément sur un mur long.
- Taille des écrans et téléviseurs. La taille d'un écran est sa diagonale. Un moniteur de 24 pouces de large et 13,5 de haut a une diagonale de √(24² + 13,5²) = √(576 + 182,25) ≈ 27,5 pouces, d'où sa vente comme écran « 27 pouces » (les tailles commerciales sont arrondies, et celle-ci suppose un format 16:9).
- Distance sur une carte ou une grille. La distance en ligne droite entre deux points est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par leurs écarts horizontal et vertical. Faites 30 km vers l'est et 40 km vers le nord et la distance en ligne droite est √(30² + 40²) = √2500 = 50 km. C'est ainsi que les applis mesurent la distance « à vol d'oiseau ».
- Rampes, échelles et toits. La longueur d'une échelle et la distance de son pied au mur indiquent jusqu'où elle monte : hauteur = √(longueur² − base²). Une échelle de 4 m avec le pied à 1 m monte de √(16 − 1) = √15 ≈ 3,87 m le long du mur.
Erreurs courantes à éviter
- Additionner au lieu de soustraire. Pour trouver un côté court, on soustrait (b = √(c² − a²)). Additionner donne un nombre trop grand.
- Oublier la racine carrée. √(36 + 64) vaut 10, pas 100. La dernière étape est toujours la racine carrée.
- L'utiliser sur le mauvais triangle. Il ne vaut que pour les triangles rectangles. Pour les autres, il faut la loi des cosinus.
- Mélanger les unités. Gardez tous les côtés dans la même unité (tout en cm, ou tout en m) avant d'élever au carré.
Une façon rapide de vérifier votre résultat
L'hypoténuse doit toujours être le plus grand des trois nombres, et plus petite que la somme des deux côtés. Si votre c dépasse a + b, quelque chose cloche. Pour éviter le calcul, saisissez deux côtés dans la calculatrice du théorème de Pythagore et elle renvoie le troisième, avec le détail. Pour une autre remise à niveau en maths du quotidien, voyez notre guide sur comment calculer un pourcentage.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore, simplement ?
Dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres : a² + b² = c². Il permet de trouver n'importe quel côté quand on connaît les deux autres.
Comment trouver l'hypoténuse ?
Élevez au carré les deux côtés courts, additionnez, puis prenez la racine carrée : c = √(a² + b²). Pour des côtés de 6 et 8, c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Comment trouver un côté court manquant ?
Soustrayez au lieu d'additionner : b = √(c² − a²). Si l'hypoténuse est 13 et un côté 5, l'autre vaut √(169 − 25) = √144 = 12.
Que sont les triplets pythagoriciens ?
Des ensembles de trois nombres entiers qui vérifient exactement le théorème, comme 3-4-5, 5-12-13 et 8-15-17. Tout multiple en est aussi un, donc 6-8-10 fonctionne.
Le théorème de Pythagore marche-t-il sur tout triangle ?
Non. Il ne marche que sur les triangles rectangles, où un angle mesure exactement 90 degrés. Pour les autres, on utilise la loi des cosinus.
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Utilisez le théorème à l'envers : si a² + b² = c² pour les trois longueurs (c étant la plus grande), le triangle a un angle droit. Avec 5, 12, 13 : 25 + 144 = 169 = 13², donc il est rectangle.
Le résultat doit-il être un nombre entier ?
Non. Les ensembles entiers comme 3-4-5 sont l'exception, pas la règle. La plupart des triangles donnent une hypoténuse irrationnelle, comme des côtés de 4 et 7 qui donnent √65 ≈ 8,06. Arrondissez simplement à la précision voulue.