Cómo hallar la pendiente de una recta
La misma pregunta aparece de tres formas. Aprende a leer el ascenso sobre el avance y podrás hallar una pendiente con puntos, una gráfica o una ecuación.
Halla la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
La pendiente suena como una sola idea, y lo es: mide cuán inclinada está una recta y hacia dónde se inclina. Lo que la vuelve confusa es que la misma pregunta llega disfrazada de tres maneras. Pueden darte dos puntos, o una gráfica dibujada, o una ecuación, y pedirte la pendiente de la recta. Aprende a leer una sola razón, el ascenso sobre el avance, y las tres se convierten en el mismo cálculo rápido.
Qué mide realmente la pendiente
La pendiente es una razón de cambio: cuánto sube o baja la recta por cada paso que das hacia la derecha. La escribimos con la letra m, y siempre es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal, lo que suele decirse "ascenso sobre avance" y se escribe m = Δy ÷ Δx. Una pendiente de 2 significa que la recta sube 2 por cada 1 de avance. Una pendiente de −0,5 significa que baja media unidad por cada 1 de avance. Cuanto mayor es el número sin tener en cuenta su signo, más inclinada está la recta, así que una pendiente de −5 es más inclinada que una de 2; el signo por sí solo solo indica la dirección, hacia arriba o hacia abajo.
No es solo una idea de clase. Un máximo habitual de 1 en 12 para las rampas de silla de ruedas es una pendiente de unos 0,083 (1 ÷ 12), o un 8,3%; una carretera señalizada con un 6% de desnivel tiene una pendiente de 0,06; y la inclinación de un tejado también es una pendiente. Siempre que algo cambia de forma constante respecto a otra cosa, la pendiente es el número que describe a qué ritmo, ya sean metros de subida por kilómetro de carretera o ingresos por hora trabajada.
Cómo hallar la pendiente a partir de dos puntos
Esta es la versión que a casi todos nos enseñan. Dados dos puntos, etiquétalos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), y luego:
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
Toma los puntos (2, 3) y (6, 11). El ascenso es 11 − 3 = 8, el avance es 6 − 2 = 4, así que la pendiente es 8 ÷ 4 = 2. La recta sube 2 por cada 1 de avance. Una recta descendente funciona igual y da negativa: para (1, 9) y (4, 3), el ascenso es 3 − 9 = −6 y el avance es 4 − 1 = 3, así que la pendiente es −6 ÷ 3 = −2, una recta que baja 2 por cada 1 de avance.
¿Importa qué punto va primero?
No, siempre que seas coherente. Si empiezas la parte de arriba de la fracción con y₂, debes empezar la de abajo con x₂ también. Intercambia ambos y obtienes el mismo resultado: (3 − 11) ÷ (2 − 6) = −8 ÷ −4 = 2 otra vez. El error que hay que evitar es mezclar el orden, restar las y de una forma y las x de la otra, lo que invierte el signo y te da la recta equivocada.
Cómo hallar la pendiente a partir de una gráfica
Cuando la recta ya está dibujada, no necesitas la fórmula en absoluto, solo dos puntos que puedas leer con claridad donde la recta cruza la cuadrícula. Lee la gráfica de izquierda a derecha para que el avance sea siempre positivo, y luego cuenta: cuántos cuadros sube o baja la recta entre los dos puntos (el ascenso, que es negativo si la recta va hacia abajo) y cuántos cuadros avanza (el avance). Divide el ascenso por el avance.
Por ejemplo, toma una recta que pasa por (0, 1) y (3, −2). Leyendo de izquierda a derecha, baja 3 y avanza 3, así que la pendiente es −3 ÷ 3 = −1. Un consejo que evita errores: elige dos puntos que estén muy separados y caigan justo en esquinas de la cuadrícula. Leer una pendiente entre dos puntos muy separados hace que una pequeña lectura errónea importe mucho menos que entornar los ojos ante dos puntos pegados.
Cómo hallar la pendiente a partir de una ecuación
Si la recta está escrita como ecuación, la pendiente suele estar a la vista. La forma pendiente-ordenada es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es donde la recta cruza el eje y. Así que en y = 3x + 5, la pendiente es simplemente 3. En y = −2x + 1, es −2.
Si la ecuación tiene otra forma, reordénala hasta que la y quede sola. Para 2y = 6x − 4, divide todo entre 2 para obtener y = 3x − 2, así que la pendiente es 3. La forma general, como 4x + 2y = 8, necesita un paso extra: resta para obtener 2y = −4x + 8, luego divide entre 2 para y = −2x + 4, y la pendiente, −2, aparece. La única ecuación con la que esto no funciona es una recta vertical como x = 5, que no puede escribirse en la forma y = mx + b en absoluto, porque su pendiente es indefinida (más abajo).
Los dos casos que confunden
Dos rectas rompen el esquema simple, y vale la pena conocerlas porque aparecen tanto en los exámenes como en datos reales.
Una recta horizontal nunca sube, así que su ascenso es 0, y 0 dividido por cualquier avance distinto de cero es 0. Su pendiente es exactamente cero, lo cual es correcto: una recta plana no tiene inclinación.
Una recta vertical es lo contrario, y la que sorprende a la gente. Su avance es 0, y dividir por cero es indefinido, así que una recta vertical no tiene pendiente alguna, no una pendiente de cero. Toma los puntos (4, 1) y (4, 7): el avance es 4 − 4 = 0, así que la fracción tiene cero abajo y la pendiente es indefinida. Si tus dos puntos comparten el mismo valor de x, detente: la recta es vertical.
Paralelas y perpendiculares, en una línea
Dos reglas rápidas salen directamente de la pendiente. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Las rectas que se cruzan en ángulo recto, perpendiculares, tienen pendientes que multiplicadas dan −1, lo que hace que cada una sea el recíproco negativo de la otra: una recta de pendiente 2 es perpendicular a una de pendiente −0,5. Esa regla vale para cualquier par de rectas que no sean ni horizontales ni verticales; una recta horizontal y una vertical también son perpendiculares, pero ahí la regla del producto no puede aplicarse porque una pendiente es indefinida. Ese único dato responde muchas preguntas de geometría sin dibujar nada.
En resumen
Sea cual sea la forma de la pregunta, la pendiente es una sola razón: ascenso sobre avance. Con dos puntos, resta y divide; con una gráfica, cuenta los cuadros de izquierda a derecha; con una ecuación, lee el número delante de x. Mantén coherente el orden de la resta, recuerda que una recta plana es cero y una recta vertical es indefinida, y el resto es aritmética. Para comprobar tus cálculos en un momento, introduce los dos puntos en nuestra calculadora de pendiente, que muestra el ascenso, el avance y la pendiente resultante. Si repasas geometría de coordenadas en general, nuestra explicación del teorema de Pitágoras cubre la distancia entre esos mismos dos puntos, y la calculadora del teorema de Pitágoras la calcula por ti.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la pendiente de una recta?
La pendiente es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal, escrito m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1). Para los puntos (2, 3) y (6, 11), el ascenso es 8 y el avance es 4, así que la pendiente es 2. Suele decirse 'ascenso sobre avance'.
¿Cómo hallo la pendiente a partir de una gráfica?
Elige dos puntos donde la recta cruce la cuadrícula con claridad, cuenta los cuadros que sube o baja entre ellos (el ascenso) y los cuadros que avanza (el avance), y luego divide el ascenso por el avance. Elige puntos muy separados y en esquinas exactas para que una pequeña lectura errónea importe menos.
¿Cómo hallo la pendiente a partir de una ecuación?
Pon la ecuación en la forma y = mx + b, y la pendiente es el número m delante de x. En y = 3x + 5 la pendiente es 3. Si la ecuación tiene otra forma, reordénala primero para que la y quede sola y luego lee el coeficiente de x.
¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal o vertical?
Una recta horizontal tiene pendiente cero, porque nunca sube. Una recta vertical tiene pendiente indefinida, no cero, porque su avance es cero y no se puede dividir por cero. Si dos puntos comparten el mismo valor de x, la recta es vertical y la pendiente es indefinida.
¿Importa qué punto uso primero?
No, siempre que seas coherente. El punto cuya y pongas primero arriba, usa su x primero abajo. Mezclar el orden, restar las y de una forma y las x de la otra, invierte el signo y da la pendiente equivocada.