Comment résoudre une équation du second degré

Une équation du second degré a la forme ax² + bx + c = 0, et il y a trois façons fiables de la résoudre. Voici la factorisation, la complétion du carré et la formule quadratique, quand utiliser chacune, des exemples résolus, et comment le discriminant indique le nombre de solutions réelles à attendre.

Par l'équipe Calculator Den · Mis à jour le 2026-11-03

Une équation du second degré est toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres et a n'est pas nul. Le terme x² est ce qui la rend du second degré, et c'est pourquoi elle peut avoir deux solutions, une, ou aucune dans les nombres réels. Il y a trois façons fiables d'en résoudre une : la factorisation, la complétion du carré et la formule quadratique. Ce guide montre les trois, quand recourir à chacune, des exemples résolus, et comment le discriminant indique d'avance le nombre de solutions à attendre. La première étape est toujours la même : réorganiser l'équation pour qu'un côté soit nul et que vous puissiez lire a, b et c.

D'abord, identifiez a, b et c

Avant toute méthode, mettez l'équation sous la forme standard ax² + bx + c = 0, tout d'un côté et zéro de l'autre. Par exemple, x² + 5x = −6 devient x² + 5x + 6 = 0, ce qui donne a = 1, b = 5, c = 6. Gardez les signes avec les nombres : dans x² − 3x − 10 = 0, b vaut −3 et c vaut −10. Un signe moins perdu sur b ou c est la cause la plus fréquente de mauvaises réponses, donc vérifiez les signes avant de résoudre.

Méthode 1 : résoudre une équation du second degré par factorisation (la plus rapide quand elle marche)

La factorisation réécrit l'équation comme deux parenthèses multipliées, puis utilise le fait que si deux choses multipliées donnent zéro, au moins l'une doit être nulle. Prenez x² − 5x + 6 = 0. Vous cherchez deux nombres dont le produit vaut c (6) et la somme vaut b (−5) : ce sont −2 et −3. Cela se factorise donc en (x − 2)(x − 3) = 0, ce qui signifie x − 2 = 0 ou x − 3 = 0, donnant x = 2 ou x = 3.

La factorisation est la plus rapide quand les nombres sont commodes, mais toute équation ne se factorise pas proprement avec des entiers. Si vous ne voyez pas la paire en quelques secondes, ne forcez pas : passez à la formule, qui marche toujours.

Méthode 2 : la formule quadratique (marche toujours)

La formule quadratique résout n'importe quelle équation une fois sous forme standard :

x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ (2a)

Le signe ± est la raison pour laquelle on obtient d'ordinaire deux réponses : une avec le plus, une avec le moins. Exemple résolu sur 2x² + 3x − 2 = 0, donc a = 2, b = 3, c = −2. D'abord la partie sous la racine : b² − 4ac = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25. Sa racine carrée est 5. Puis x = (−3 ± 5) ÷ (2 × 2) = (−3 ± 5) ÷ 4. Le plus donne (−3 + 5) ÷ 4 = 2 ÷ 4 = 0.5 ; le moins donne (−3 − 5) ÷ 4 = −8 ÷ 4 = −2. Donc x = 0.5 ou x = −2.

Surveillez les signes, surtout la partie −4ac quand c est négatif (deux moins ont donné +16 ci-dessus), et rappelez-vous que tout le −b est divisé par 2a, pas seulement une partie.

Méthode 3 : compléter le carré pour résoudre une équation du second degré

Compléter le carré réécrit l'équation comme un carré parfait plus une constante. C'est plus de travail que la formule pour une simple résolution, mais c'est la méthode dont la formule elle-même découle, et c'est essentiel ensuite pour trouver le sommet d'une parabole. Pour x² + 6x + 5 = 0 : passez le 5 de l'autre côté pour obtenir x² + 6x = −5, puis ajoutez le carré de la moitié du coefficient de x (la moitié de 6 est 3, 3² = 9) des deux côtés : x² + 6x + 9 = 4. Le côté gauche est maintenant (x + 3)², donc (x + 3)² = 4, ce qui signifie x + 3 = ±2, donnant x = −1 ou x = −5.

Pour résoudre au quotidien, la formule est plus rapide. Recourez à la complétion du carré quand un exercice le demande, ou quand il vous faut la forme canonique (sommet) plutôt que les seules racines.

Le discriminant : combien de solutions a une équation du second degré ?

Le discriminant est la partie sous la racine carrée, b² − 4ac, et son signe indique combien de solutions réelles a une équation avant même de terminer :

• Si b² − 4ac est positif, il y a deux solutions réelles distinctes (la courbe coupe l'axe des x deux fois).
• Si b² − 4ac est nul, il y a exactement une solution réelle, une racine double (la courbe touche juste l'axe des x).
• Si b² − 4ac est négatif, il n'y a pas de solution réelle, car on ne peut pas prendre la racine carrée réelle d'un nombre négatif (les solutions sont complexes, vues plus tard).

Une vérification rapide du discriminant épargne des efforts. Deux exemples rapides : dans x² + x + 1 = 0, b² − 4ac = 1 − 4 = −3, négatif, donc pas de solution réelle et inutile de s'acharner sur la formule (les racines sont complexes, (−1 ± i√3) ÷ 2, vues plus tard). Dans x² − 6x + 9 = 0, le discriminant vaut 36 − 36 = 0, donc une seule racine : x = −b ÷ 2a = 6 ÷ 2 = 3, une racine double où la courbe touche juste l'axe des x. Un discriminant qui est un carré parfait, comme le 25 de l'exemple ci-dessus, indique aussi que l'équation se factorise proprement avec des entiers.

Vérifiez vos réponses

Comme les trois méthodes doivent concorder, résoudre une équation de deux façons est déjà une vérification, mais il en existe une plus rapide. Pour ax² + bx + c = 0, les deux racines ont toujours pour somme −b ÷ a et pour produit c ÷ a. Prenez 2x² + 3x − 2 = 0 avec les racines 0.5 et −2 : leur somme est 0.5 + (−2) = −1.5 = −3 ÷ 2, et leur produit 0.5 × (−2) = −1 = −2 ÷ 2. Les deux concordent avec a, b et c, donc les racines sont bonnes. Cette vérification somme-et-produit repère un signe inversé en quelques secondes.

La formule gère aussi les racines qui ne tombent pas sur des entiers propres, là où la factorisation abandonne. Pour x² − 2x − 1 = 0, le discriminant vaut 4 + 4 = 8, donc x = (2 ± √8) ÷ 2 = 1 ± √2, environ 2.414 et −0.414. Aucune paire d'entiers ne factorise cela, mais la formule le résout proprement.

Quelle méthode utiliser pour résoudre une équation du second degré ?

Essayez d'abord la factorisation quand les coefficients sont de petits entiers, car c'est la plus rapide. Si cela ne se factorise pas proprement en quelques secondes, utilisez la formule quadratique, qui marche à chaque fois et reste le choix sûr par défaut. Utilisez la complétion du carré quand un exercice le demande précisément, ou quand il vous faut le sommet de la parabole et non les seules racines. Les trois donnent les mêmes réponses quand des solutions réelles existent ; elles doivent concorder, donc résoudre une équation de deux façons est une bonne vérification.

Erreurs fréquentes

• Ne pas mettre l'équation à zéro d'abord. La formule et la factorisation supposent ax² + bx + c = 0. Passez tout d'un côté avant de lire a, b et c.
• Perdre un signe. Si c est négatif, −4ac devient positif. Portez les signes avec soin dans b² − 4ac.
• Oublier le ±. La formule donne deux réponses. Ne prendre que le plus (ou que le moins) rate une solution.
• Diviser par 2a une partie seulement. Tout le numérateur, −b ± la racine, est divisé par 2a, pas seulement la racine.
• Oublier que a ne peut pas être nul. Si a = 0, il n'y a pas de terme x² et ce n'est pas du second degré. Si a, b et c ont un facteur commun, divisez-le d'abord : 2x² + 4x − 6 = 0 devient x² + 2x − 3 = 0, plus facile à factoriser.

Mettez l'équation sous forme standard, vérifiez le discriminant, puis factorisez si c'est facile ou utilisez la formule sinon, et les étapes deviennent mécaniques. Quand vous voulez la réponse et les étapes à l'instant, la calculatrice de la formule quadratique gratuite résout n'importe quel ax² + bx + c = 0 et montre le discriminant, et la calculatrice scientifique gère les racines et les puissances en chemin. Et si un triangle rectangle vous laisse une équation du second degré, comme lorsque a² + b² = c² a une inconnue des deux côtés, la calculatrice du théorème de Pythagore couvre ce cas.