Comment calculer l'écart type

L'écart type mesure à quel point vos données sont dispersées. Voici la méthode en cinq étapes, un exemple résolu complet et la seule décision (population vs échantillon) qui piège presque tout le monde.

Par l'équipe Calculator Den · Mis à jour le 2026-10-18

L'écart type est l'un des nombres les plus utiles de la statistique, et l'un des plus intimidants à l'oeil. Retirez les symboles grecs et il répond à une question simple : à quel point mes données sont-elles dispersées ? Un petit écart type signifie que les valeurs se blottissent près de la moyenne ; un grand, qu'elles sont éparpillées. Voici comment le calculer à la main en cinq étapes, un exemple résolu complet et la seule décision, population ou échantillon, qui cause presque toute la confusion. Une calculatrice d'écart type gratuite vérifiera vos calculs.

En bref : trouvez la moyenne, soustrayez-la de chaque valeur et élevez le résultat au carré, faites la moyenne de ces différences au carré (c'est la variance), puis prenez la racine carrée. Le seul piège est le diviseur : utilisez N pour une population entière et n moins 1 pour un échantillon.

Ce que l'écart type vous dit

Imaginez deux classes qui obtiennent toutes deux une moyenne de 70 pour cent à un examen. Dans la première, les notes étaient 68, 70, 70, 72. Dans la seconde, 40, 60, 80, 100. Même moyenne de 70, histoires totalement différentes, et l'écart type est le nombre qui saisit la différence. Appliquez la méthode à chacune (forme population) : la première a un écart type d'environ 1,4, la seconde d'environ 22,4. La première classe est très groupée, la seconde très dispersée, et pourtant leurs moyennes sont identiques. Cet écart est exactement ce que mesure l'écart type, et c'est pourquoi c'est la façon standard de saisir la régularité, le risque et la dispersion, des notes d'examen aux rendements d'investissement en passant par les tolérances de fabrication.

Les cinq étapes

Prenons un petit jeu de données : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (huit valeurs).

• Étape 1 : trouvez la moyenne. Additionnez-les et divisez par leur nombre. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, et 40 divisé par 8 = 5.
• Étape 2 : trouvez chaque écart à la moyenne. Soustrayez 5 de chaque valeur : -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
• Étape 3 : élevez chaque écart au carré. Le carré supprime les signes négatifs pour qu'ils ne s'annulent pas : 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16.
• Étape 4 : trouvez la variance (l'écart au carré moyen). Additionnez les carrés : 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Divisez maintenant, et c'est là que population et échantillon diffèrent (voir plus bas). Pour la population entière, divisez par 8 : 32 / 8 = 4.
• Étape 5 : prenez la racine carrée. La racine carrée de la variance est l'écart type. La racine carrée de 4 est 2.

L'écart type de population de ces données est donc exactement 2. Voyez-le comme une distance typique à la moyenne de 5, plus précisément la distance quadratique moyenne. (La distance moyenne simple est plus petite, 1,5 ici, car le carré donne plus de poids aux grands écarts comme le 4 et le -3 avant que la racine carrée ne le ramène.) Variance et écart type sont deux vues de la même chose : la variance (4) est en unités au carré, et la racine carrée la ramène aux unités d'origine (2), raison pour laquelle c'est l'écart type que les gens citent.

La formule de l'écart type

Les cinq étapes ci-dessus sont exactement ce que dit la formule, en symboles. Pour une population : écart type = la racine carrée de [ la somme de (chaque valeur moins la moyenne), au carré, divisée par N ]. Pour un échantillon, le seul changement est de diviser par n moins 1 au lieu de N. De façon compacte, avec le sigma grec majuscule pour "additionner" :

• Population : sigma = racine( somme de (x - moyenne)au carré / N )
• Échantillon : s = racine( somme de (x - moyenne)au carré / (n - 1) )

Si les symboles font peur, revenez aux cinq étapes : elles sont la formule, lue de gauche à droite.

Population vs échantillon : la question du n moins 1

C'est la partie qui piège tout le monde, alors autant la clarifier. La seule différence est ce par quoi vous divisez à l'étape 4 :

• Écart type de population (symbole sigma) : vous avez les données de chaque membre du groupe qui vous intéresse. Divisez la somme des carrés par N (l'effectif total). Dans notre exemple, 32 / 8 = 4, donc sigma = 2.
• Écart type d'échantillon (symbole s) : vos données ne sont qu'un échantillon tiré d'une population plus grande. Divisez par n moins 1. Dans notre exemple, 32 / 7 = 4,571, donc s = environ 2,14.

Pourquoi le moins un ? Quand vous travaillez à partir d'un échantillon, vous mesurez chaque écart par rapport à la moyenne de l'échantillon lui-même, pas par rapport à la vraie moyenne inconnue de la population. La moyenne de l'échantillon se place toujours au plus près de vos données, donc ces écarts au carré sortent un peu trop petits. Diviser par n moins 1 au lieu de n corrige cela et rend la variance d'échantillon une estimation sans biais de la variance de population. On parle aussi de "degrés de liberté" : une fois la moyenne fixée, seules n moins 1 des valeurs peuvent varier librement. On appelle cela la correction de Bessel. L'effet s'estompe quand les données grandissent, donc avec mille valeurs les deux réponses sont presque identiques. La règle pratique : si vos données sont tout le groupe, utilisez N ; si c'est un échantillon qui représente un groupe plus grand, utilisez n moins 1, le choix courant dans la vraie vie.

La voie rapide : les tableurs

À la main, c'est parfait pour comprendre ; pour de vraies données, un tableur est plus rapide et évite les erreurs. Dans Excel comme dans Google Sheets :

• =STDEV.P(plage) donne l'écart type de population (divise par N).
• =STDEV.S(plage) donne l'écart type d'échantillon (divise par n moins 1).

Concrètement : tapez les huit valeurs dans les cellules A1 à A8, puis entrez =STDEV.P(A1:A8) pour 2, ou =STDEV.S(A1:A8) pour environ 2,14. Les tableurs plus anciens utilisent STDEVP et STDEV, qui se comportent pareil. Notre calculatrice affiche les deux à la fois, avec la moyenne et la variance, pour que vous voyiez chaque étape et pas seulement le chiffre final.

Comparer la dispersion : le coefficient de variation

Un écart type seul peut tromper, car il dépend de la taille des nombres. Un écart type de 2 est énorme sur une moyenne de 5 mais minuscule sur une moyenne de 500. Pour comparer la dispersion entre des échelles différentes, utilisez le coefficient de variation (CV) : l'écart type divisé par la moyenne. Sur nos données, CV = 2,14 / 5 = 0,43, soit environ 43 pour cent, assez dispersé. Le CV n'a de sens que lorsque la moyenne est positive, il ne marche donc pas pour des choses comme les températures en Celsius qui peuvent passer sous zéro.

De l'écart type aux scores z

Une fois la moyenne et l'écart type connus, un score z vous dit à combien d'écarts types une valeur se trouve de la moyenne : z = (valeur moins moyenne) divisé par l'écart type. Pour un examen de moyenne 70 et d'écart type 10, une note de 90 a z = (90 - 70) / 10 = 2, soit deux écarts types au-dessus de la moyenne, mieux qu'environ 97,5 pour cent des résultats. C'est ainsi que l'écart type se transforme en percentile.

La règle 68-95-99,7

L'écart type devient vraiment puissant avec des données qui suivent une distribution normale (la classique courbe en cloche). Pour ces données, une règle pratique dit :

• Environ 68 pour cent des valeurs tombent à un écart type de la moyenne.
• Environ 95 pour cent tombent à deux.
• Environ 99,7 pour cent tombent à trois.

Donc si les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart type 10, environ 95 pour cent des élèves ont eu entre 50 et 90. (Les chiffres exacts sont 68,3, 95,4 et 99,7 pour cent, et un 95 pour cent net se situe à 1,96 écart type, d'où vient la fameuse "marge d'erreur".) Cette "règle empirique" explique pourquoi l'écart type est partout : il transforme un seul nombre en carte de l'endroit où se trouvent presque toutes vos données. Le diagramme en cloche sur cette page en montre la forme. Une réserve : il ne vaut que pour des données à peu près normales. Pour n'importe quel jeu de données, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit qu'au moins 75 pour cent des valeurs se situent à deux écarts types de la moyenne.

Erreurs courantes à éviter

Une fois la moyenne comprise, le reste suit naturellement, car l'étape 1 n'est que la moyenne. Pour revoir cette première étape, la calculatrice de moyenne et notre guide sur le calcul des pourcentages couvrent les bases.