Cómo resolver una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, y hay tres maneras fiables de resolverla. Aquí tienes la factorización, completar el cuadrado y la fórmula general, cuándo usar cada una, ejemplos resueltos y cómo el discriminante te dice cuántas soluciones reales esperar.

Por el equipo de Calculator Den · Actualizado el 2026-11-03

Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que pueda escribirse en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números y a no es cero. El término x² es lo que la hace cuadrática, y por eso una cuadrática puede tener dos soluciones, una, o ninguna en los números reales. Hay tres maneras fiables de resolver una: la factorización, completar el cuadrado y la fórmula general. Esta guía muestra las tres, cuándo recurrir a cada una, ejemplos resueltos y cómo el discriminante te dice de antemano cuántas soluciones esperar. El primer paso es siempre el mismo: reordena la ecuación para que un lado sea cero y puedas leer a, b y c.

Primero, identifica a, b y c

Antes de cualquier método, pon la ecuación en la forma estándar ax² + bx + c = 0, con todo a un lado y cero al otro. Por ejemplo, x² + 5x = −6 se convierte en x² + 5x + 6 = 0, que da a = 1, b = 5, c = 6. Conserva los signos con los números: en x² − 3x − 10 = 0, b es −3 y c es −10. Un signo menos perdido en b o c es la causa más común de respuestas erróneas, así que revisa los signos antes de resolver.

Método 1: resolver una ecuación cuadrática por factorización (la más rápida cuando funciona)

La factorización reescribe la cuadrática como dos paréntesis multiplicados, y luego usa que si dos cosas multiplicadas dan cero, al menos una debe ser cero. Toma x² − 5x + 6 = 0. Quieres dos números que multiplicados den c (6) y sumados den b (−5): son −2 y −3. Así que se factoriza como (x − 2)(x − 3) = 0, lo que significa x − 2 = 0 o x − 3 = 0, dando x = 2 o x = 3.

La factorización es el método más rápido cuando los números son amables, pero no toda cuadrática se factoriza limpiamente con números enteros. Si no ves el par en unos segundos, no lo fuerces: pasa a la fórmula, que siempre funciona.

Método 2: la fórmula general (siempre funciona)

La fórmula general resuelve cualquier cuadrática una vez en forma estándar:

x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ (2a)

El signo ± es por lo que normalmente obtienes dos respuestas: una con el más, otra con el menos. Ejemplo resuelto sobre 2x² + 3x − 2 = 0, así que a = 2, b = 3, c = −2. Primero la parte bajo la raíz: b² − 4ac = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25. Su raíz cuadrada es 5. Luego x = (−3 ± 5) ÷ (2 × 2) = (−3 ± 5) ÷ 4. El más da (−3 + 5) ÷ 4 = 2 ÷ 4 = 0.5; el menos da (−3 − 5) ÷ 4 = −8 ÷ 4 = −2. Así que x = 0.5 o x = −2.

Cuida los signos, sobre todo la parte −4ac cuando c es negativo (dos menos dieron +16 arriba), y recuerda que todo el −b se divide entre 2a, no solo una parte.

Método 3: completar el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática

Completar el cuadrado reescribe la ecuación como un cuadrado perfecto más una constante. Es más trabajo que la fórmula para resolver sin más, pero es el método del que se deduce la propia fórmula, y es esencial luego para hallar el vértice de una parábola. Para x² + 6x + 5 = 0: pasa el 5 al otro lado para obtener x² + 6x = −5, luego suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x (la mitad de 6 es 3, 3² = 9) a ambos lados: x² + 6x + 9 = 4. El lado izquierdo es ahora (x + 3)², así que (x + 3)² = 4, lo que significa x + 3 = ±2, dando x = −1 o x = −5.

Para resolver a diario, la fórmula es más rápida. Recurre a completar el cuadrado cuando un ejercicio lo pida, o cuando necesites la forma de vértice de una cuadrática en lugar de solo sus raíces.

El discriminante: ¿cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática?

El discriminante es la parte bajo la raíz cuadrada, b² − 4ac, y su signo te dice cuántas soluciones reales tiene una cuadrática antes de terminar de resolver:

• Si b² − 4ac es positivo, hay dos soluciones reales distintas (la gráfica cruza el eje x dos veces).
• Si b² − 4ac es igual a cero, hay exactamente una solución real, una raíz doble (la gráfica solo toca el eje x).
• Si b² − 4ac es negativo, no hay soluciones reales, porque no se puede tomar la raíz cuadrada real de un número negativo (las soluciones son complejas, que ven cursos posteriores).

Así que una comprobación rápida del discriminante ahorra esfuerzo. Dos ejemplos rápidos: en x² + x + 1 = 0, b² − 4ac = 1 − 4 = −3, que es negativo, así que no hay soluciones reales y no tiene sentido pelear con la fórmula (las raíces son complejas, (−1 ± i√3) ÷ 2, que ven cursos posteriores). En x² − 6x + 9 = 0, el discriminante es 36 − 36 = 0, así que hay exactamente una raíz: x = −b ÷ 2a = 6 ÷ 2 = 3, una raíz doble donde la gráfica solo toca el eje x. Un discriminante que es un cuadrado perfecto, como el 25 del ejemplo de la fórmula de arriba, también te dice que la cuadrática se factorizará limpiamente con números enteros.

Comprueba tus respuestas

Como los tres métodos deben coincidir, resolver una ecuación de dos maneras ya es una comprobación, pero hay otra más rápida. Para ax² + bx + c = 0, las dos raíces siempre suman −b ÷ a y multiplican a c ÷ a. Toma 2x² + 3x − 2 = 0 con raíces 0.5 y −2: suman 0.5 + (−2) = −1.5 = −3 ÷ 2, y multiplican 0.5 × (−2) = −1 = −2 ÷ 2. Ambas coinciden con a, b y c, así que las raíces son correctas. Esta comprobación de suma y producto detecta un signo cambiado en segundos.

La fórmula también maneja raíces que no salen como números enteros limpios, que es donde la factorización se rinde. Para x² − 2x − 1 = 0, el discriminante es 4 + 4 = 8, así que x = (2 ± √8) ÷ 2 = 1 ± √2, alrededor de 2.414 y −0.414. Ningún par de números enteros factoriza eso, pero la fórmula lo resuelve sin problemas.

¿Qué método debes usar para resolver una ecuación cuadrática?

Prueba primero la factorización cuando los coeficientes son números enteros pequeños, porque es la más rápida. Si no factoriza limpiamente en unos segundos, usa la fórmula general, que funciona siempre y es la opción segura por defecto. Usa completar el cuadrado cuando un ejercicio lo pida específicamente, o cuando necesites el vértice de la parábola y no solo las raíces. Las tres dan las mismas respuestas cuando hay soluciones reales; deben coincidir, así que resolver una ecuación de dos maneras es una buena comprobación.

Errores comunes

• No poner la ecuación en cero primero. La fórmula y la factorización suponen ax² + bx + c = 0. Pasa todo a un lado antes de leer a, b y c.
• Perder un signo. Si c es negativo, −4ac se vuelve positivo. Lleva los signos con cuidado por b² − 4ac.
• Olvidar el ±. La fórmula da dos respuestas. Tomar solo el más (o solo el menos) se salta una solución.
• Dividir entre 2a solo una parte. Todo el numerador, −b ± la raíz, se divide entre 2a, no solo la raíz.
• Olvidar que a no puede ser cero. Si a = 0 no hay término x² y no es cuadrática. Si a, b y c comparten un factor común, divídelo primero: 2x² + 4x − 6 = 0 se convierte en x² + 2x − 3 = 0, más fácil de factorizar.

Pon la ecuación en forma estándar, revisa el discriminante, luego factoriza si es fácil o usa la fórmula si no, y los pasos se vuelven mecánicos. Cuando quieras la respuesta y los pasos al instante, la calculadora de la fórmula general gratuita resuelve cualquier ax² + bx + c = 0 y muestra el discriminante, y la calculadora científica maneja las raíces y potencias por el camino. Y si un triángulo rectángulo te deja una cuadrática, como pasa cuando a² + b² = c² tiene una incógnita en ambos lados, la calculadora del teorema de Pitágoras cubre ese caso.